Иоганн Кеплер

космографических исследований, содержащий космографическую тайну».

Главный поиск. «Новая астрономия»

Над «Новой астрономией» Кеплер работал с небольшими перерывами с 1600

по 1606 г. Значение этой книги состоит прежде всего в том, что в ней дан

вывод двух из трех знаменитых законов движения планет, названных его

именем. В современной формулировке эти законы обычно звучат так:

I. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых

(общем для всех планет) находится Солнце.

II. Площади, описываемые радиусами-векторами планет, пропорциональны

времени.

Третий закон был опубликован Кеплером позже, в 1619 г., в книге «Harmonices

Mundi» («Гармония мира»). Кеплерово сочинение и по форме и по содержанию

значительно отличается от многих научных трактатов того времени. Если

Коперник, Галилей и Ньютон знакомят нас только с конечными результатами

своих научных достижений, то Кеплер совершенно сознательно описывает ход

своей работы во всех деталях, включая все неудачи и успехи, ошибки и

гениальные догадки, ловушки и их обходы. Почему он так поступает, он

объясняет в предисловии: «Для меня важно не просто сообщить читателю, что я

должен сказать, но прежде всего ознакомить его с доводами, оговорками,

счастливо преодоленными опасностями, которые привели меня к моим открытиям.

Когда Христофор Колумб, Магеллан и португальцы, из которых первый открыл

Америку, второй Китайский океан, а последние — морской путь вокруг Америки,

повествуют, как они сбивались с пути и блуждали в своих путешествиях, мы не

только прощаем им это, но, более того, мы не желаем пропуска этих

рассказов, так как тогда при чтении было бы потеряно впечатление о всем

значительном в их предприятиях. Пусть же поэтому и мне не поставят в вину,

когда я, вызывая у читателя интерес, пойду подобным путем в своем

изложении. Конечно, при чтении, например похождений аргонавтов, мы сами не

принимаем участия в их злоключениях, а трудности и тернии на моем мысленном

пути могут задеть и самого читателя, но таков уж жребий всех математических

сочинений».

Кеплер начал свое исследование составлением на основании наблюдений

Тихо Браге полного списка моментов, долгот и широт для всех противостояний

планеты Марс с 1580 г. (Браге наблюдал противостояния Марса десять раз с

1580 по 1600 г., два раза — в 1602 и 1604 гг. их наблюдал Кеплер). Еще

Коперник, следуя Птолемею, считал центр земной орбиты истинным центром

орбит всех планет. Браге также определял противостояние планеты как

положение, противоположное этой точке, т. е. так называемому «среднему

Солнцу». Кеплер уже в «Космографической тайне» указывал, что Солнце само

является естественным центром планетной системы, и считал, что

противостояние следует брать по отношению к реальному, а не к среднему

Солнцу. Это было первым существенным нововведением в методы исследования.

Кеплер впервые предположил, что движение планет происходит вследствие

воздействия на них некоей силы, исходящей от Солнца. Таким образом, у

Кеплера Солнце становится не только источником света и тепла для всей

планетной системы, но также и источником движущей планеты силы.

Второе нововведение Кеплера заключалось в следующем. Орбиты всех планет

лежат не совсем в одной плоскости — их плоскости образуют одна с другой

небольшие углы (например, плоскости орбит Земли и Юпитера составляют угол в

1°18,5'). Если не учесть этот факт, приходится встречаться с большими

затруднениями при объяснении некоторых особенностей в наблюдаемых с Земли

положениях Марса. Коперник, например, считал, что плоскость орбиты Марса

колеблется в пространстве, не интересуясь физической причиной такого

странного явления. Предположив, что дело здесь в наличии некоторого

постоянного угла между плоскостями планетных орбит, Кеплер без особого

труда, по данным наблюдений Браге, убеждается в правильности своей гипотезы

и находит угол между плоскостями орбит Земли и Марса равным 1°50'.

Третье нововведение Кеплера более радикально. От Платона и Птолемея до

Коперника и Браге астрономы были уверены в том, что планеты совершают свои

круговые движения с равномерной скоростью. Кеплер, сохраняя на первых порах

движение круговым, отбрасывает аксиому равномерного движения. И при этом он

руководствуется прежде всего физическими соображениями: если Солнце

управляет движением, является его источником, то его сила должна

действовать на планету более интенсивно, когда она находится ближе к

источнику, и менее интенсивно, когда планета от него удалится,

следовательно, планета будет двигаться с большей или меньшей скоростью в

зависимости от ее расстояния до Солнца. Эта идея была не только отрицанием

античной традиции, она отвергала и предположение Коперника, по которому не

могло быть, « ... чтобы простое небесное тело неравномерно двигалось одной

сферой ... ». Коперник был в свою очередь решительно не согласен с учением

Птолемея о том, что планеты движутся равномерно не вокруг центров своих

орбит, а вокруг воображаемой точки на некотором расстоянии от центра. Эта

точка называлась punctum aequans или aequant (уравнивающей точкой, или

эквантом). Коперник, отказавшись от птолемеевых эквантов, ввел вместо них

добавочные эпициклы. Кеплер, отбрасывая догму равномерного движения,

возвратился к понятию экванта, рассматривая его как важное вычислительное

средство.

Этими нововведениями Кеплер несколько облегчил предстоящее решение

своей задачи. Кеплер писал: «Ох, сколько я должен был пролить слез над

трогательным старанием Апиана, который, следуя Птолемею, зря тратил свое

драгоценное время и изобретательность на построение спиралей, петель,

винтовых линий, завитков и целого лабиринта инволюций, чтобы изобразить то,

что существует только в воображении и которое природа отказывается принять

как свое подобие».

[pic]

Рис. 3

Первая попытка решить задачу описывается Кеплером в XVI главе «Новой

астрономии». Его задача состояла прежде всего в определении некоторых

параметров орбиты Марса, которую, напомним, Кеплер пока еще полагал

круговой. Нужно было определить радиус орбиты (см. Рис. 3), направление по

отношению к неподвижным звездам линии аспид, т.е. оси, соединяющей точку, в

которой планета бывает ближе всего к Солнцу (перигелий), и противоположную

ей точку (афелий), а также положение Солнца (S), центра орбиты (C) и

экванта (Е), которые лежат на этой оси. Из журналов наблюдений Тихо Браге,

которыми он теперь располагал, он выбрал запись о четырех наблюдавшихся

противостояниях Марса — в 1587, 1591, 1593 и 1595 гг. В самом начале своих

вычислений Кеплер по рассеянности допускает несколько ошибок, которые

должны были бы существенно повлиять на правильность вычислений. Кеплер так

и не заметил их до конца своей работы, но их обнаружил французский историк

астрономии Деламбр. Тем не менее исправленные Деламбром вычисления в

результате дали почти те же значения — оказалось, что в самом конце

вычислений Кеплер при делении снова допустил ошибки, перекрывшие первые! В

результате вычислений Кеплер получил полный эксцентриситет, равный 0,18564

долям радиуса, причем Солнце отстоит от центра на 0,11332, а эквант — на

0,07232 доли радиуса (современная теория показывает, что оба расстояния

должны быть приблизительно равны 0,5625 и 0,4375 полного эксцентриситета;

значения, полученные Кеплером — 0,6104 и 0,3896 соответственно). Долгота

афелия для 1587 г. составляла 148°48’55’’. Полученные им значения при

подстановке в данные десяти наблюдений Браге расходились менее чем на 2’,

что было вполне допустимым.

Однако уже следующая глава начинается удивленным возгласом: «Как же

это могло быть? Гипотеза, которая хорошо согласуется с наблюдениями

противостояний, все же ошибочна». И в двух последующих главах Кеплер

обстоятельно объясняет, как он установил, что гипотеза ложна и почему ее

нужно отвергнуть. Пытаясь применить свою модель к вычислению промежуточных

положений Марса по данным наблюдений Браге, Кеплер обнаруживает расхождение

теории с практикой, достигающей в численном выражении 8’.

Следующий этап исследований Кеплер описывает в книге третьей.

Многократные вычисления говорят Кеплеру о том, что невозможно построить

круговую орбиту планеты, полностью соответствующую данным наблюдений.

Окружность полностью определяется заданием трех точек на ней, любая другая

кривая линия требует знания положения большего количества точек на ней. Для

определения формы орбиты Марса, копь скоро она не была окружностью,

требовалось прежде всего уточнить орбиту небесного тела, на котором

размещен наблюдатель, т. е. самой Земли. Ведь из неправильного

представления о движении наблюдателя выводы о движении наблюдаемых объектов

будут тоже неверны. Если бы было возможно в каждый момент времени находить

непосредственно величину отрезка Земля — Солнце. Но такой возможности у

Кеплера не было. Другой принципиально возможный случай заключается в выборе

в пространстве некоторого неподвижного ориентира о котором известно, что он

в течение длительного времени сохраняет свое положение неизменным. Тогда

земные наблюдатели могли бы при необходимости визировать направление на

него.

[pic]Рис. 4

Допустим, что в определенный момент времени Земля (З) находится на

прямой, соединяющей Солнце (С) с нашим ориентиром М (см. Рис. 4). Если в

это время визировать с Земли направление на ориентир М, то получим

направление СМ (Солнце—ориентир). Пусть это направление зафиксировано на

небесном своде. Рассмотрим положение Земли в другой момент (З1). Если и

Солнце (С) и ориентир М видны с Земли (З1) то в треугольнике СЗ1М известен

угол ( = СЗ1М. Направление прямой СМ относительно неподвижных звезд

определено раз и навсегда. Но теперь, установив направление на Солнце З1С

прямым наблюдением, можно определить и угол ( = З1СМ. Следовательно,

треугольник СЗ1М может быть теперь построен по стороне СМ и двум углам ( и

( для каждого положения З1 и при этом определится это самое положение З1

относительно заданного базиса СМ. Таким образом можно получить необходимое

число точек, принадлежащих орбите Земли.

Но где же взять ориентир М? Изобретательный ум великого астронома

использовал ориентир, хоть и не строго неподвижный, но периодически, через

известные заранее интервалы времени, занимающий одно и то же положение в

пространстве. Дело в том, что уже и тогда была довольно точно известна

продолжительность марсианского года, т. е. период обращения Марса вокруг

Солнца, — 687 дней. Используя эту величину в качестве исходной, теперь

достаточно было учесть, что любое зафиксированное положение Марса (и длина

отрезка МС) через целое число марсианских лет будет повторяться, в то время

как положение Земли на ее орбите каждый раз будет, вообще говоря, иным.

Таким образом можно установить такое количество точек орбиты Земли.

Естественно, что, не располагай Кеплер данными многолетних наблюдений Браге

за Марсом, быстрое решение этой задачи оказалось бы невозможным.

Результаты произведенных Кеплером вычислений совпали с его

предположениями: Земля, как и другие планеты, вопреки мнению Коперника и

его предшественников, не движется равномерно, а быстрее, когда она ближе к

Солнцу, и медленнее, когда дальше от него. Так впервые в истории астрономии

была показана ошибочность аристотелевского представления о равномерных

движениях планет. Дальше, занимаясь вычислением расстояния Марс — Земля,

Кеплер нашел, что наибольшее расстояние, в афелии (в частях радиуса земной

орбиты), составляет 1,6678, а наименьшее, в перигелии, 1,3850. Тогда радиус

орбиты Марса будет равен:

[pic]

а расстояние Солнца от центра орбиты Марса

[pic]

т.е. половине ранее выведенного из движения Мара полного эксцентриситета

его орбиты (равного 0,1856). Таким образом Кеплером было установлено, что

полный эксцентриситет планет делится центром орбиты на две равные части

между Солнцем и эквантом.

Кеплеровская концепция тяготения.

В течение многих веков в естествознании господствовала аристотелевская

точка зрения на природу тяготения: «Земля и Вселенная имеют общий центр;

тяжелое тело движется к центру Земли, и происходит это вследствие того, что

центр Земли совпадает с центром Вселенной».

В «Новой астрономии» по мнению Кеплера, тяготение — это «взаимное телесное

стремление сходных (родственных) тел к единству или соединению». В

примечаниях к своему более позднему сочинению о лунной астрономии Кеплер

пишет: «Гравитацию я определяю как силу, подобную магнетизму — взаимному

притяжению. Сила притяжения тем больше, чем оба тела ближе одно к другому

... ». Этим самым Кеплер существенно продвигается в направлении, которое

позже приводит Ньютона к открытию его знаменитого закона всемирного

тяготения. Здесь же Кеплер добавляет: «Причины океанских приливов и отливов

видим в том, что тела Солнца и Луны притягивают воды океана с помощью

некоторых сил, подобных магнетизму». Пытаясь установить количественную

зависимость между силой притяжения и расстоянием, Кеплер предположил, что

сила притяжения прямо пропорциональна весу, но обратно пропорциональна

расстоянию.

Внимание Кеплера было привлечено и к такому свойству материальных тел,

как инерция. Сам термин «инерция» был введен в именно Кеплером. Он

обозначил им явление сопротивления движению покоящихся тел. Инерция

движения, по крайней мере до 1620 г., им не рассматривается. Важно

отметить, что понятие инерции было распространено Кеплером (в его

понимании) на внеземные тела и явления. В «Новой астрономии» он пишет:

«Планетные шары должны быть по природе материальны ..., они обладают

склонностью к покою, или отсутствию движения».

[pic]

Рис. 5 К выводу Кеплером закона площадей

Для объяснения эксцентричности орбит Кеплер предположил, что планеты

представляют собой «огромные круглые магниты», магнитные оси которых

сохраняют постоянное направление, подобно оси волчка. Следовательно,

планеты будут периодически то притягиваться ближе к Солнцу, то

отталкиваться от него, в соответствии с расположением их магнитных полюсов.

Далее Кеплер делит всю орбиту Земли на 360 частей, отметив на орбите

положение Земли З1, З2, ..., З360 в соответствующие моменты времени t1, t2,

..., t360. Кеплер сопоставлял сумму расстояний между Землей и Солнцем в

моменты времени ti и tk (и во все промежуточные моменты) с промежутком

времени, необходимым планете, чтобы перейти из положения Зi, Зk. При

сложении оказалось, что эта сумма отрезков не зависит от выбранного участка

орбиты, а только от величины промежутка времени. Вспомнив затем, как

Архимед для нахождения площади круга разлагал его на большое число

треугольников, Кеплер заменяет сумму расстояний площадью сектора,

описанного радиусом-вектором точки орбиты, считая эти величины

пропорциональными, хотя и не говоря об этом прямо (см. Рис. 5). Необходимо

заметить, что при выводе закона площадей (в конце 1601 — начале 1602 г.)

Кеплер встретился и по-своему справился с задачей, имеющей прямое отношение

к тому разделу математики, бурное развитие которого вскоре ознаменовало

наступление нового этапа в истории математики, связанного с исчислением

бесконечно малых. Его попытка бесконечного суммирования по существу была

первым шагом в численном интегрировании. Второй закон определял изменение

скорости движения планет по их орбите, однако сама форма орбиты оставалась

еще неизвестной.

Теперь Кеплеру предстояло дать математическое описание той кривой, по

которой движется планета, и эта задача оказалась самой сложной и

трудоемкой. Пришлось проверять одну за другой многие гипотезы. При этом,

правда, в распоряжении Кеплера уже было мощное средство исследования — его

закон площадей. Это давало возможность, задавая гипотезу о кривой той или

иной формы, вычислять положения, которые должен был бы занимать Марс на

этой предполагаемой орбите в различные моменты времени, и сравнивать их с

наблюдаемыми положениями. «Правда лежит между кругом и овалом, как будто

орбита Марса есть точный эллипс». Но, поместив Солнце в его центр, Кеплер

снова не пришел к согласующемуся с данными наблюдений результату.

В начале 1605 г. Кеплеру удалось найти истинную связь между

расстоянием Солнце — Марс и так называемой эксцентрической аномалией. Он

нашел тогда уравнение, которое сейчас называется его именем и широко

используется в теоретической астрономии. Это уравнение имеет вид:

[pic]

[pic]— константы. Это уравнение является одним из первых трансцендентных

уравнений, которые нашли практическое приложение. Наконец Кеплер заметил,

что боковое сжатие орбиты составляет 0,00429 доли радиуса, что точно равно

половине квадрата определенного им ранее эксцентриситета (0,09262

=0,00857). И тогда Кеплер предположил, что орбита Марса — эллипс, но Солнце

располагается не в его центре, а в одном из фокусов. Проверка гипотезы

эллипса быстро привела его к успешному завершению работы, ознаменовавшемуся

выводом первого закона: Марс движется по эллипсу, в одном из фокусов

которого находится Солнце. Кеплер не сомневался, что по этому же закону

движутся и остальные планеты, что вскоре им было проверено. Он был уверен

также, что и орбита Земли — эллипс, но из-за малого эксцентриситета (e=

0,01673) и недостаточной точности наблюдений этот эллипс тогда еще

невозможно было отличить от окружности. Открытые Кеплером законы

подготовили почву Ньютону для открытия закона всемирного тяготения.

Законы Кеплера сохраняют свое значение и в наше время. Правда, будучи

абсолютно строгими математическими законами для движения двух материальных

тел (точнее — материальных точек), они не учитывают воздействия на каждую

планету других планет, которые хотя и очень слабы, но все же приводят к

небольшим отклонениям их движения от эллиптической орбиты. Но математики и

астрономы научились учитывать эти воздействия (благодаря чему, между

прочим, были открыты планеты Нептун и Плутон).

Третий закон движения планет Кеплер вывел значительно позже (в 1619

г.). Суть этого закона была изложена в труде под названием «Мировая

гармония». Кеплер формулирует этот закон так: «... отношение между

периодами обращения каких-нибудь двух планет как раз равняется полуторной

степени отношения их средних расстояний; однако обращаю внимание на то, что

среднее арифметическое обоих диаметров эллиптической, орбиты немногим менее

длиннейшего диаметра». Сейчас этот закон формулируется в такой форме:

квадраты сидерических периодов планет относятся между собой, как кубы их

средних расстояний от Солнца.

Математические исследования Кеплера.

С 1594 г. Кеплер имел официальное звание математика: штирийский

провинциальный математик с 1594 по 1600 г., императорский математик с 1601

г. до конца жизни и, кроме того, математик провинции Верхней Австрии с 1613

по 1628 г. в те времена понятие «математика» был значительно шире чем в

Страницы: 1, 2, 3