Управление инвестиционными рисками

своим правом и эмитент вынужден будет исполнить контракт по заниженной

цене. В результате его брутто-потери (без учета премии) составят величину

fт = ST - S, равную тому выигрышу, который он имеет как владелец акции

(происходит перекачка выигрыша по акции в карман держателя опциона). В

противоположной ситуации, если произойдет понижение цены (ST < S), он

потеряет по акции, но выиграет по опциону, (получит премию без вычетов).

На рынке ценных бумаг отмеченная разнонаправленность обнаруживает себя

через отрицательную статистическую связь (корреляцию) доходностей по акциям

и опционам.

Этот пример подсказывает, в частности, один из доступных способов

получения безрискового портфеля через соблюдение хеджирующей пропорции

между числом проданных колл-опционов (короткая позиция), в расчете на одну

купленную акцию. Заметим, что разнообразие опционных позиций (2 х 2 = 4) по

вариантам сделки (купить, продать) и видам опционов ("колл", "пут")

позволяет прийти к другим вариантам отрицательных корреляций, например

сочетать покупку акций и пут-опционов на нее. Это, в свою очередь,

расширяет возможности составления хеджирующих смесей.

В качестве еще одного варианта отрицательной коррелированности

рассмотрим разнопериодные облигации. В дальнейшем будет показано, как это

свойство позволяет решать "защитные" задачи от риска, связанного с

изменением процентной ставки. Для простоты ограничимся обсуждением

бескупонных облигаций.

В общем случае разные периоды будут отличаться эффективностями

вложений. Информация об этом содержится в кривой доходности (yield curve),

отражающей зависимость доходности к погашению от срока выпуска до

погашения. Взаимоотношение между доходностью и срочностью долговых

контрактов (облигаций) называется еще временной структурой процентных

ставок (term structure of interest rates). Практически эта кривая строится

по текущим рыночным ценам на государственные долговые обязательства

(которые признаются безрисковыми) различных сроков погашения. Обычно кривая

доходности имеет положительный наклон, то есть ценные бумаги с большим

сроком до погашения имеют более высокую доходность.

В повседневной деятельности инвесторы в зависимости от своих запросов

опираются на различные варианты кривых доходности. Для сравнительного

анализа временной структуры ими привлекаются как процентные ставки,

выводимые из текущих котировок однотипных бумаг с разными датами эмиссии,

например трехмесячных ГКО, так и кривые доходности, отслеживающие динамику

ее изменения и персонифицированные по выпускам. Наличие подобной информации

позволяет менеджеру активно управлять портфелем облигаций, занимаясь либо

его комплектацией, либо выбором времени продажи одного выпуска и купли

другого, либо и тем и другим.

Остановимся на двух способах инвестирования в зависимости от

длительности ценных бумаг с фиксированной доходностью:

. для краткосрочных облигаций - это покупка и хранение их до срока

погашения, а затем реинвестирование поступивших средств;

. другой вариант V игра на кривой доходности при наличии

определенных условий. Одно из условий состоит в том, что кривая

доходности имеет наклон вверх. Другое условие - это уверенность

инвестора в том, что кривая доходности в будущем не изменится.

При данных ограничениях инвестор, играющий на кривой доходности,

покупает ценные бумаги, имеющие более длительный срок до

погашения, чем это ему в действительности необходимо, а затем

продает их до срока погашения, получая таким образом некоторую

дополнительную прибыль.

Рассмотрим инвестора, который вкладывает средства в 90-дневные

казначейские векселя. В данный момент они продаются по 98,25 долл. при

номинале в 100 долл., то есть их доходность составляет (за год)(

(100-98,25) / 98,25 * (365 / 90) * 100 = 7,22%.

Однако 180-дневные казначейские векселя продаются по 96 долл., что

дает большую доходность: (100-96) / 96 * (365 / 180) * 100 = 8,45%.

Изобразим возрастающую кривую доходности, на которой расположены эти

значения.

[pic]

Рис.3.2.1 Кривая доходности казначейских векселей.

Согласно этой кривой за 90 дней до срока истечения ожидаемая цена

продажи длинных векселей будет равна дисконтированной по ставке 7,22%

величине их номинала, что, как легко убедиться, даст 98,25 долл. Заметим,

что это значение совпадает с текущей ценой 90-дневных векселей, поскольку в

соответствии со сделанным предположением кривая доходности не поменялась за

90 дней. Это означает, что ожидаемая ставка доходности от перепродажи

составит: (98,25-96,00) / 96,00 * (365 / 90) * 100 = 9,5%.

Итак, ожидаемая доходность при игре по кривой выше, чем доходность

"ожидания" по короткой облигации (9,5 > 7,22). Данное явление происходит

потому, что инвестор ожидает получить прибыль за счет досрочной реализации

180-дневных векселей, которые были первоначально приобретены.

Таким образом, с точки зрения доходности из двух альтернатив -

покупка и погашение 90-дневных векселей или покупка 180-дневных бумаг и их

продажа через те же 90 дней - вторая оказывается предпочтительнее.

Разумеется, что для убывающей кривой доходности вывод поменяется на

противоположный. Если же эффективности не зависят от горизонта погашения

(доходность постоянна), альтернативы становятся равновыгодными.

Ситуационно подходящий срок погашения может следовать календарным

обязательствам инвестора, например необходимости покрыть задолженность в

определенном объеме на определенную дату. Допустимо, конечно, отложить

требуемую сумму и держать ее до наступления удобного момента. Но разумнее

обойтись меньшей суммой и наращивать ее до нужного размера с помощью

облигаций. Для этого можно купить облигации с погашением на нужный период

или воспользоваться более короткими бумагами и реинвестированием. Еще один

способ - вложиться в облигации с превосходящим периодом и продать их по

срочности обязательства.

Следует иметь в виду, что в реальности будущие процентные ставки

случайны. Поэтому как реинвестирование (короткие бумаги), так и игра на

кривой доходности более рискованны, чем просто покупка бумаг с подходящим

сроком погашения.

В самом деле, при многошаговом наращении по однопериодным бумагам и

преждевременной продаже длинных бумаг результаты будут зависеть от

случайных в будущем ставок по формулам начисления и соответственно

дисконтирования по сложным процентам. Отсюда понятно, что получаемые по

каждому варианту изменения в выигрышах будут по разному реагировать на

изменение процентных ставок: копируя их для коротких бумаг и отрицая для

длинных.

К примеру, пусть для простоты кривая доходности горизонтальна, то

есть доходность к погашению не зависит от времени погашения t. Иначе

говоря, текущие Р[pic], и номинальные Ft стоимости связаны одной той же (в

отличие от предыдущего примера) ставкой дисконтирования г:

Pt(l+r)[pic] = Ft, t=l,2, ...,

то есть все контракты независимо от срока их действия имеют одну и ту

же внутреннюю норму доходности.

Обозначим базовую процентную ставку, действующую в настоящий момент,

через г0. Для покрытия задолженности D на дату Т можно воспользоваться

одним из трех вариантов вложения: в однопериодные, Т-периодные и в

облигации с погашением позже долга (L > Т) и номиналом

D(l + r[pic])L-T.

При начальном капитале I = D(l + r0)[pic] и неизменной в будущем

процентной ставке все три способа, приуроченные к моменту выплаты Т

(разовое погашение, реинвестирование, досрочная продажа), финансово

эквивалентны и безрисковы. Независимо от случайных изменений процентной

ставки первый способ (покупка Т-бумаг и хранение их до срока погашения)

остается безрисковым и обеспечивает обслуживание долга за| счет вырученных

при погашении средств D.

Если в момент, следующий за настоящим, ставка вырастет до величины г >

го, то результат реинвестирования D1 превысит величину долга D: D1

= I(1+ r)[pic] = D((1 + r)/(1 + r0))[pic] > D, а игра на кривой доходности

приведет к недостаче: D2 = I(1 + r0)[pic]/(1 + r)[pic] = D((1 + r0) / (1 +

r) < D.

Таким образом, доходность реинвестирования (короткие бумаги) станет

выше, а доходность перепродажи (длинные бумаги) снизится.

При падении ставки (г < го) выводы поменяются на симметричные. Отсюда

видно, что случайные доходности активов, предшествующих долгу и следующих

за ним, меняются разнонаправленно, то есть имеют отрицательную корреляцию.

Известны: исходная цена бумаги, дивидендный доход в процентах,

безрисковая процентная ставка, страйк, срок опционного контракта или срок

до его исполнения. Далее есть варианты расчета. Если известна волатильность

подлежащего актива, можно посчитать теоретическую цену опциона, и наоборот,

если известна фактическая цена опциона, можно оценить соответствующую

волатильность актива. Среди исходных данных мы не найдем расчетную

доходность актива, потому что, согласно результатов Блэка и Шоулза,

теоретическая цена опциона не зависит от расчетной доходности подлежащего

актива.

Итак, мы можем оценить, насколько сильно теоретическая цена опциона

отличается от фактической и тем самым сделать косвенную оценку

эффективности использования опционов. Но может ли такая оценка быть

количественной? Что, если я приобретаю не один опцион, а выстраиваю

опционную комбинацию? Каков инвестиционный эффект от покрытия опционом

подлежащего актива?

Чтобы ответить на перечисленные вопросы, нужно как бы отстраниться от

всего достигнутого в опционной теории и посмотреть на проблему совсем с

другой стороны – а именно так, так, как на нее смотрит классический

инвестор. А он задается простым вопросом: если я покупаю по известной цене

один опцион или некоторую опционную комбинацию, на какой эффект с точки

зрения доходности и риска своих вложений я могу рассчитывать?

Умея рассчитывать доходность и риск одного или группы опционов, можно

перейти к оценке того же для опционных портфелей.

Введем следующие обозначения, которые будем употреблять в дальнейшем:

Входные данные (дано):

T – расчетное время (срок жизни портфеля или время до исполнения

опционного контракта);

S0 – стартовая цена подлежащего опционам актива;

zc – цена приобретения опциона call;

zp – цена приобретения опциона put;

xc - цена исполнения опциона call;

xp - цена исполнения опциона put;

ST – финальная цена подлежащего опционам актива в момент Т (случайная

величина);

rT – текущая доходность подлежащего актива, измеренная в момент

времени T по отношению к стартовому моменту времени 0 (случайная величина);

[pic]- среднеожидаемая доходность подлежащего актива;

(r – среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности подлежащего

актива;

Выходные данные (найти):

IT – доход (убыток) по опциону (комбинации), случайная величина;

RT – текущая доходность опциона (комбинации), измеренная в момент

времени T по отношению к стартовому моменту времени 0 (случайная величина);

[pic]- среднеожидаемая доходность опциона (комбинации);

(R – СКО доходности опциона (комбинации);

QT – риск опциона (комбинации).

Далее по тексту работы все введенные обозначения будут

комментироваться в ходе их использования.

Также мы дополнительно оговариваем следующее:

1. Мы не рассматриваем возможность дивидендных выплат (чтобы не усложнять

модель).

2. Здесь и далее мы будем моделировать опционы только американского типа,

т.е. такие, которые могут быть исполнены в любой момент времени на

протяжении всего срока действия опциона. Это необходимо, чтобы не

требовать синхронизации срока жизни портфеля на подлежащих опционам

активах и сроков соответствующих опционных контрактов.

Общепринятым модельным допущением к процессу ценового поведения акций

является то, что процесс изменения котировки является винеровским случайным

процессом, и формула Блэка-Шоулза тоже берет это предположение за исходное.

Существуют определенные ограничения на использование вероятностей в

экономической статистике. Но, поскольку этот инструмент учета

неопределенности является традиционным и общеупотребительным, я хочу

оформить свои результаты в вероятностной постановке, при простейших

модельных допущениях с использованием аппарата статистических вероятностей.

А затем, по мере накопления опыта моделирования, мы будем усложнять

модельные допущения и одновременно переходить от статистических

вероятностей к вероятностным распределениям с нечеткими параметрами,

используя при этом результаты теории нечетких множеств. Задача эта в целом

выходит за рамки данной монографии, но заложить основы этой теории мы

сможем уже здесь.

Посмотрим на винеровский ценовой процесс c постоянными параметрами (

(коэффициент сноса, по смыслу – предельная курсовая доходность) и (

(коэффикциент диффузии, по смыслу – стандартное уклонение от среднего

значения предельной доходности). Аналитическое описание винеровского

процесса:

[pic] (3.48)

где z(t) – стандартный винеровский процесс (броуновское движение,

случайное блуждание) с коэффициентом сноса, равным нулю и коэффициентом

диффузии, равным единице.

Если принять, что начальное состояние процесса известно и равно S0, то

мы можем, исходя из (2.1), построить вероятностное распределение цены ST в

момент T. Эта величина, согласно свойств винеровского процесса как

процесса с независимыми приращениями, имеет нормальное распределение со

следующими параметрами:

- среднее значение:

[pic]; (3.49)

- среднеквадратичное отклонение (СКО) величины ln ST/S0:

[pic] (3.50)

В принципе, для моих последующих построений вид вероятностного

распределения цены подлежащего актива несущественен. Но здесь и далее, для

определенности, мы остановимся на нормальном распределении. Его плотность

обозначим как

[pic] (3.51)

Примерный вид плотности нормального распределения вида (3.51)

представлен на рис. 3.2.2.

[pic]

Рис. 3.2.2. Примерный вид плотности нормального распределения

Теперь, сделав все базовые допущения к математической модели, мы можем

переходить непосредственно к процессу вероятностного моделирования опционов

и их комбинаций.

Приобретая опцион call, инвестор рассчитывает получить премию как

разницу между финальной ценой подлежащего актива ST и ценой исполнения

опциона xc. Если эта разница перекрывает цену приобретения опциона zc, то

владелец опциона получает прибыль. В противном случае имеют место убытки.

Случайная величина дохода по опциону связана со случайной величиной

финальной цены подлежащего актива соотношением 3.49.

[pic] (3.52)

В правой части (3.52) все параметры являются известными и постоянными

величинами, за исключением ST, которая является случайной величиной с

плотностью распределения (3.51).

А текущую доходность по опциону call мы определим формулой

[pic] (3.53)

Представление (3.49), когда стартовая и финальная цены актива связаны

экспоненциальным множителем, является неудобным для моделирования.

Аналогичные неудобства вызывает представление доходности на основе

степенной зависимости. Именно поэтому мы оперируем категорией текущей

доходности как линейной функции дохода и финальной цены. Предполагая

нормальность распределения финальной цены актива (что соответствует

винеровскому описанию ценового процесса), мы автоматически таким образом

приходим к нормальному распределению текущей доходности. Построенная

линейная связь текущей доходности и цены является полезной особенностью,

которая потом может быть удачно использована в ходе вероятностного

моделирования.

Определим плотность (I(y) распределения дохода IT по опциону как

функции случайной величины ST. Воспользуемся известной формулой. Если

исходная случайная величина X имеет плотность распределения (X(x), а

случайная величина Y связана с X функционально как Y=Y(X), и при этом

существует обратная функция X=X(Y), тогда плотность распределения случайной

величины Y имеет вид

[pic]. (3.54)

В нашем случае, исходя из (3.52),

[pic] (3.55)

dST/dIT = 1, IT > -zc. (3.56)

Мы видим, что в точке IT = -zc плотность (I(y) приобретает вид

дельта-функции. Необходимо определить множитель при дельта-функции. Это

можно сделать косвенным образом. На участке, где функция ST(IT)

дифференцируема, в силу (3.54)-( 3.58) выполняется

[pic] IT > -zc. (3.57)

В силу нормирующего условия справедливо

[pic] (3.58)

откуда, в силу (2.10), искомый множитель K есть

[pic] (3.59)

Множитель K есть, таким образом, не что иное как вероятность события

ST < xc. При наступлении такого события говорят, что опцион call оказался

не в деньгах. Это событие – условие отказа от исполнения call-опциона и

прямые убытки в форме затрат на приобретение опциона.

Наконец, итоговое выражение для (I(y)

[pic] (3.60)

где

[pic] (3.61)

На рис. 3.2.2 представлен примерный вид плотности вида (3.60).

[pic]

Рис. 3.2.2. Примерный вид плотности усеченного распределения

Видно, что мы перешли от нормального распределения цен к усеченному

нормальному распределению доходов. Но это не классическое усеченное

распределение, а распределение, функция которого претерпевает разрыв

первого рода в точке с бесконечной плотностью.

Теперь нетрудно перейти к распределению доходности (R(v), пользуясь

(3.53), (3.54) и (3.60):

[pic] (3.62)

Плотности вида (3.60) и (3.62) – бимодальные функции.

Теперь оценим риск инвестиций в call опцион. Мне думается, что

правильное понимание риска инвестиций сопряжено с категорией неприемлемой

доходности, когда она по результатам финальной оценки оказывается ниже

предельного значения, например, уровня инфляции в 4% годовых. Это значение

близко к текущей доходности государственных облигаций, и тогда ясно, что

обладая сопоставимой с облигациями доходностью, опционный инструмент

значительно опережает последние по уровню риска прямых убытков

(отрицательной доходности).

Поэтому риск инвестиций в опцион call может быть определен как

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8