Теория электрических цепей

число и номера ребер, напряжения на которых выводятся на печать, т.е.

SHOWUR = 4 3 4 19 20.

так как напряжения на хордах не выводятся на печать, параметр SHOWUH=0.

Значения параметров GRAPH=1 PEREDAT=1 позволяют осуществить графический

вывод и построить передаточную характеристику.

Поскольку схема ЭСЛ управляется сигналами отрицательной полярности

параметр IC=1.

Описание топологии схемы вводится (считывается), а затем после

синтаксического контроля проверки на отсутствие неправильно размещенных

ветвей (НРВ) и автоматической коррекции структуры схемы:

Алгоритм решения системы (1) включает на очередном шаге интегрирования

следующие основные процедуры:

вычисление вектора –функции F(V k-1, t k-1); определение величины шага

hk; вычисление Vk согласно методу Эйлера по формуле Vk = Vk-1 + hk *F(Vk-

1 ,tk-1 ) и определение нового значения времени интегрирования tk =

tk-1 +hk .

Вторая форма представления ММ электрической цепи связана с использованием

метода узловых потенциалов, неявных формул численного интегрирования,

алгебраизацией системы ОДУ и решением ее методом Ньютона.

Нормальная форма Коши системы ОДУ удобна для применения явных методов

численного интегрирования. Для ее решения также могут быть использованы и

неявные методы численного интегрирования. В этом отношении метод переменных

состояния, который позволяет получить ММ электрической цепи в форме (1),

является более универсальным и перспективным для использования в программах

с открытыми библиотеками численных методов решения уравнений и с открытыми

библиотеками моделей элементов (так как в методе переменных состояния не

требуется предварительная алгебраизация компонентных уравнений и,

следовательно, методы формирования и решения уравнений могут

рассматриваться независимо друг от друга).

Далее рассмотрим вопросы описания цепей и формирование уравнений

переходных процессов в электрических цепях методом переменных состояния.

Уравнения переходных процессов- математические модели электрических

цепей включают в себя уравнения компонентные и топологические.

Компонентные уравнения описывают электрические свойства компонентов (

элементов) цепи. Для линейных двухполюсников (резистора, конденсатора и

катушки индуктивности) эти уравнения имеют следующий вид:

Ur = Ir * R , Ic =C * DUc/ dt и Ul = L * DIl /dt,

где R,C и L- сопротивление, емкость и индуктивность; U и I -напряжение

и ток в компоненте, причем индекс характеризует принадлежность переменной

компоненту определенного типа.

Сложные компоненты (например, диоды, транзисторы и т.д.) имеют модели

из нескольких уравнений. Обычно эти уравнения составляются на основании

эквивалентных схем замещения сложных компонентов, состоящих из двухполюсных

элементов линейных и нелинейных. Нелинейные безынерционные двухполюсники в

эквивалентных схемах чаще всего описываются зависимыми источниками тока I =

F1 (U) или напряжения U =F2 (I) . Инерционные нелинейные двухполюсники

описываются зависимыми емкостями, индуктивностями или источниками.

Уравнения этих элементов связывают не только токи и напряжения, но и

производные по времени некоторых из этих величин. Получение компонентных

уравнений или соответствующих им эквивалентных схем - самостоятельная

задача моделирования элементов электрических цепей [6;7].

Топологические уравнения отражают связи между компонентами

(элементами) электрической цепи и составляются на основании законов

Кирхгофа. В методах получения уравнений важное значение имеет так

называемая М-матрица – матрица контуров и сечений. Эта матрица содержит в

себе полную информацию о структуре эквивалентной схемы (ЭС) рассматриваемой

электрической цепи. Строки М-матрицы в закодированном виде отображают

уравнения закона напряжений Кирхгофа для выбранных контуров схемы, а

столбцы М-матрицы – уравнения закона токов Кирхгофа для сечения схемы.

Целью построения М-матрицы является упрощение процедуры формирования

математической модели ЭС электрической цепи.

При построении М-матрицы используют некоторые понятия теории графов.

Граф также как и эквивалентная схема электрической цепи содержит ветви и

узлы (называемые вершинами). Ветви графа, соответствующие двухполюсным

ветвям эквивалентной схемы представляют собой линии произвольной длины и

формы. Вершины графа соответствуют узлам эквивалентной схемы.

Важным понятием теории графа является дерево графа, под которым

понимают совокупность ?-1 ветвей, соединяющих все узлы, не образующих ни

одного контура. Ветви дерева называют ребрами, а ветви графа, не вошедшие

в дерево - хордами, связями. В любом графе можно выделить более чем одного

дерево. Процесс построение М - матрицы, следовательно, получение ММ в

методе переменных состояния начинается с построения нормального дерева, в

которое в ветви графа включаются со следующим приоритетом: сначала ветви

источников ЭДС Е, затем ветви С и далее ветви R и L. Ветви источников токов

J не включаются в нормальное дерево. Построение нормального дерева графа

приводит к разбиению множества ветвей схемы В на подмножества ребер Р и

хорд Х. При этом определяются контуры и сечения эквивалентной схемы, для

которых составляются уравнения по законам

TR=

T1 0 3 6 7

T2 0 4 6 7

T3 0 5 6 8

T4 0 10 5 0

T5 0 8 9 0

T6 0 7 11 0

D1 0 12 13 12

D2 0 13 1 13

В массиве U= указаны начальные и конечные узлы, между которыми включены

двухполюсные ветви схемы: источники напряжения, емкости и резисторы. В

массиве TR= перечислены узлы подключения транзисторов в следующей

последовательности: база, эмиттер и коллектор. Диод представлен как

транзистор, у которого коллектор и база закорочены. В первом столбце

массива TR= указаны нули (“0”), которые указывают на то, что в схеме ЭСЛ

используются транзисторы n-p-n-типа.

Предполагается, что все транзисторы проводимости n-p-n-типа имеют

одинаковую физическую структуру и при моделировании для них используются

модифицированные модели Эберса-Молла.

Для параметров входного импульса напряжения с начальным значением Е4=-

1.7В указаны следующие числовые значения:

IMPULSE = 1

После коррекции дерева на экран будет выдана топологическая матрица

контуров и сечений. После нажатия клавиши (любой) будет проведен расчет

напряжений в схеме и результат анализа выдан в табличной или графической

форме (в зависимости от выбранного режима), а также построена передаточная

характеристика. Для остановки процесса вычислений необходимо нажать любую

клавишу. Нажатие клавиши Enter приведет к возврату в операционную систему

5.2. Пример подготовки данных для расчета схем на компьютере

Рассмотрим методику подготовки и описания данных для расчета тестовой

схемы на компьютере с помощью программы анализа. На рис.3, на котором в

качестве тестовой схемы приведена ЭСЛ схема, указаны номера узлов и

направление токов, принятые за положительные. Предполагается выводить

значения напряжений на входах и выходах схемы.

Описание топологии схемы ЭСЛ (рис.3) имеет следующий вид:

СТ=6 {количество транзисторов}

CD=2 {количество диодов}

CE=4 {количество источников напряжений}

CC=2 {количество емкостей}

CR=8 {количество резисторов}

CU=14 {количество узлов в схеме}

CV=14 {количество ветвей в схеме}

U=

E1 1 0

E2 2 0

E3 3 0

E4 4 0

C1 0 9

C2 0 11

R1 0 10

R2 10 12

R3 5 1

R4 6 1

R5 0 7

R6 0 8

R7 13 2

R8 11 2

Кирхгофа. Количество таких контуров равно количеству хорд nx. , а

количество сечений - количеству ребер np . При присоединении каждой i-й

хорды к дереву получаем i-й контур, называемый контуром i-й хорды.

Сечением j-о ребра называют совокупность ветвей, пересекаемых

замкнутой линией (линией сечения) при выполнении следующих условий: 1)

любая ветвь может пересекаться не более одного раза; 2) в сечение должно

входить единственное j-е ребро. Такие сечения называют главными сечениями.

Рассмотрим нелинейную электрическую цепь, показанную на рис.1а.

Эквивалентная схема (ЭС) этой цепи, в которой нелинейный многополюсник -

транзистор представлен упрощенной схемой замещения - моделью (рис.2), дана

на рис.1б. На рис.1в представлен направленный граф ЭС нелинейной цепи, где

стрелками показаны выбранные положительные направления токов, узлы

пронумерованы от 1 до 8. Следует отметить, что направления токов в ветвях

модели транзистора выбираются в соответствии с типом его проводимости, как

показано на рис.2. Для остальных ветвей ЭС электрической цепи токи могут

иметь произвольные направления. Нужно помнить , что если в процессе расчета

ток какой-либо ветви примет отрицательные значения, то это означает

несовпадение реального тока с принятым положительным направлением .

Положительное значение какой-либо ветви говорит о том, что направление тока

в ветви выбрано правильно.

а)

б)

в)

Рис.1. Нелинейная электрическая цепь а), ее эквивалентная схема (ЭС)

б), и граф ЭС в).

Рис.2 Эквивалентные схемы диода и транзистора.

В описании режимных параметров также указываются следующие параметры:

М1 и М2 – константы, необходимые для автоматического выбора шага

интегрирования; ТК - длительность переходных процессов, т.е. конечный

отрезок времени интегрирования;

НР – шаг печати выходных напряжений и токов.

Выводимые на печать напряжения на ребрах (емкостях и входных напряжений)

и хордах (резисторах) и их количество указываются в массиве SHOWUR и

SHOWUH, соответственно.

Результаты анализа схемы могут быть выданы на печать в графическом

(параметр GRAPH = 1 или по умолчанию) или табличном виде (GRAPH = 0). Кроме

того, по результатам расчета схемы предусмотрено построение передаточной

характеристики (параметр PEREDAT = 1).

Для случая расчета схем, типа ЭСЛ, управляемых сигналами отрицательной

полярности в файле исходных данных предусмотрен параметр Ic, который

принимается равным единице. Если на вход схемы подается импульс

положительной полярности (как в случае ТТЛ-схемы), то параметр Ic (по

умолчанию) принимает значение, равное 0.

В программе реализованы два метода алгоритма решения уравнений ММС. Выбор

метода решения уравнений ММС осуществляется параметром Method, который

принимается равным 1 или 2 (по умолчанию). Цифра 2 соответствует

ускоренному алгоритму решения уравнений ММС.

И, наконец, в файле данных указывается параметр Check Only, который

используется для автоматической (Check Only =0, по умолчанию) коррекции

структуры схемы, т.е. автоматического поиска, обнаружения и устранения

неправильно размещенных ветвей. Когда эти процедуры выполняются вручную,

параметр Check Only = 1

Для выполнения работы по расчету напряжений в схеме необходимо запустить

программу анализа:

Circnew.exe data.shm,

где data.shm – имя файла исходных данных, анализируемой схемы. После этого

на экран будут выданы исходные данные (основные и дополнительные) этого

файла. Далее будет осуществляться в автоматическом режиме коррекции дерева

схемы от неправильных размещений. Если предусмотрен ручной режим коррекции

дерева, то в случае наличия в схеме неправильных размещений программа

прекратит работу, и необходимо устранить их вручную.

далее последовательно перечисляются транзисторы в следующей форме:

t Б Э К,

где t- тип транзистора, например для транзистора с приводимостью p-n-p

–типа t=1 , а для транзистора n-p-n-типа t=0; Б,Э и К – номера узлов в

анализируемой схеме, к которому подключены соответственно база , эмиттер и

коллектор транзистора.

После описания всех транзисторов идет перечисление диодов, которые

описываются также как и транзисторы, но с закороченными коллекторными p-n-

переходами , т.е. следующим образом:

0 а К,

где а - номер узла в схеме, к которому подключен анод; К- номер узла

схемы, к которому подключен катод диода. Диоды перечисляются

непосредственно за транзисторами под общим “заголовком” TR= .

Для транзисторов и диодов используются модели, являющиеся модификациями

модели Эберса-Молла. Численное значения параметров моделей транзисторов и

диодов считываются из библиотеки моделей программы анализа при ее запуске

на решение ММ схемы.

Далее идут численные значения емкостей Ci , сопротивлений Rj и

напряжений источников питания и входных сигналов Ek;

C=C1C2C3…Cm(i=1…m);

R=R1R2R3…R1 (j=1..1 );

E=E1E2E3…Ep (k=1..p),

где Ci, Rj и Ek –значения , емкостей, сопротивлений и напряжений,

количество которых в схеме равно m,l и р, соответственно. При этом единицы

измерений емкостей, сопротивлений и напряжений следующие: пикофарада,

килоОм и вольт, соответственно.

Далее следуют режимные параметры. Это параметры для случая анализа

переходных процессов (динамического режима схемы), когда на вход подается

импульс трапецеидальной формы. В этом случае параметр IMPULSE=1. Если

анализируется статистический режим работы схемы, то параметр IMPULSE=0(по

умолчанию), тогда игнорируются все параметры входного импульса:

TSAD- задержки переднего фронта (начало) импульса;

TIMP- длительность импульса

KFRONTF и KBACKF- коэффиц-ты для определения длительностей (тангенсов угла

наклона) переднего и заднего фронтов импульса;

LEVEL0 и LEVEL1- нулевой и единичный уровни напряжения входного сигнала.

В графе (рис. 1в) кривыми линиями выделены ребра (ветви дерева), а прямыми

- хорды. При этом в дерево графа включены все ветви источников ЭДС и ветви

емкостные, которые образуют множество ребер : P={E1,E2,E3,C1,C2,C3,C4}.

Ветви, не включенные в нормальное дерево графа отнесены в подмножество

хорд: X={R1 ,R2 ,R3 ,R4 ,R5}. Выбором нормального дерева определены контуры

и сечения ЭС электрической цепи, для которых составляется топологические

уравнения по законам Кирхгофа, которые имеют вид

Ux= -MUp и Ip= MtIx , (2)

где Ux и Ix - напряжения и токи хорд; Up и Ip - то же, для ветвей дерева -

ребер; Mt - транспонированная M-матрица. Строки М-матрицы соответствуют

хордам, а столбцы - ребрам. Для определения значений элементов М-матрицы к

дереву графа поочередно подключают каждую i-ю хорду. При этом образуется i-

й контур, называемый контуром i-й хорды. В строке i-й хорды записывают плюс

или минус единицы в тех столбцах, которым соответствуют ребра, входящие в

контур i-й хорды. Если направления токов в ребре и i-й хорды совпадают,

тогда элемент М-матрицы, расположенный на этом пересечении принимает

значение плюс 1, иначе –минус 1. Остальные элементы М-матрицы в строке i-й

хорды равны 0. М-матрица и топологические уравнения в развернутом виде,

составленные по законам Кирхгофа для ЭС, (рис. 1б), имеют следующий вид:

М- матрица

| |E1 |E2 |E3 |C1 |C2 |C3 |C4 |

|R1 | | | |-1 | | | |

|R2 | |1 |1 |1 | | | |

|R3 |1 |1 | | |1 | | |

|R4 | | |1 |1 | |1 | |

|R5 | | | | |1 |-1 |1 |

Далее заменяя токи Iсj на Cj *dUcj /dt можно получить систему ОДУ в

нормальной форме.

Таким образом, расчет переходных процессов электрических цепей методом

переменных состояния предполагает:

1) составление по законам Кирхгофа и уравнениям отдельных элементов цепей

единой системы дифференциальных уравнений - уравнений переходных

процессов, называемых математическими моделями (ММ) электрических цепей;

2) аппроксимацию этих уравнений на каждом шаге расчета разностными

уравнениями;

3) численное решение полученных систем разностных уравнений.

Такая последовательность расчета эффективна для цепей невысокой

размерности с преимущественно линейными двухполюсными элементами. С ростом

сложности цепей ручное формирование уравнений состояния (переходных

процессов) исключается и вопрос эффективности автоматического создания этих

уравнений начинает играть не меньшую роль, чем вопрос последующего их

решения.

Далее рассмотрим вопросы автоматического составления и расчета уравнений

ММ электрических цепей.

5.1. Методика описания топологии электрических цепей для расчета их на

компьютере.

Для расчета и анализа электрической цепи на компьютере требуется

описание ее топологии, т. е. межкомпонентных связей, описание параметров и

режимных параметров. Для составления описания топологии схемы нужно

проделать следующие процедуры. Вначале необходимо произвести нумерацию

узлов и всех элементов схемы, включая сопротивление, емкости, а так же

источники напряжений, транзисторы и диоды.

Нумерация узлов схемы осуществляется десятичным числами. Порядок

нумерации узлов и описание элементов произволен. Далее нужно проставить

направление токов через двухполюсные ветви, ветви резистивные R, емкостные

С и ветви источников напряжений Е. Выбор положительных направлений токов

произволен для всех ветвей R и С, за исключением ветвей источников

напряжений, для которых направление тока выбирается от отрицательного

полюса к положительному полюсу (в этом случае в массиве параметров

компонентов для ЭДС указывается положительное значение). Для транзисторов

проставление направления токов не требуется, достаточно указать тип

проводимости транзистора и его модель.

Далее следует непосредственное описание схемы, т.е. заполнение файла

данных. Каждая строка файла данных имеет следующий вид:

CK=X,

где CK={ст,сd,сс,сr,ce,cu}- параметр, определяющий количество элементов

схемы (транзисторов, диодов, емкостей, сопротивлений), и источников

напряжений ), а так же количество узлов схемы ; х-значение параметра СК.

Параметры пишутся прописными буквами.

Далее после строки U= перечисляются начальные и конечные узлы всех

двухполюсных ветвей в следующей форме:

U= X Y,

где U- символьный код узлов схемы;

X и Y- соответственно, начальный и конечные номера узлов двухполюсных

ветвей. Причем двухполюсные ветви перечисляются в следующей

последовательности: вначале ветви источников напряжения в соответствии с их

нумерацией, затем емкостные ветви согласно их начальной нумерации, и после

перечисляются по порядку резистивные ветви.

Для транзисторов описание выглядит следующим образом. В строке

прописными буквами указывается символьный код транзистора TR= и

-----------------------

[pic]

Страницы: 1, 2