Системный анализ и проблемы принятия решений

стороны, она должна быть достаточно полной, т. е. в ней

должны быть учтены все важные факторы, от которых

существенно зависит исход операции. С другой стороны,

модель должна быть достаточно простой для того, чтобы

можно было установить обозримые (желательно—

аналитические) зависимости между входящими в нее

параметрами. Модель не должна быть «засорена» множеством

мелких, второстепенных факторов — их учет усложняет

математический анализ и делает результаты исследования

трудно обозримыми.

Одним словом, искусство составлять математические

модели есть именно искусство, и опыт в этом деле

приобретается постепенно. Две опасности всегда

подстерегают составителя модели: первая - утонуть в

подробностях («из-за деревьев не увидеть леса»); вторая

- слишком огрубить явление («выплеснуть из ванны вместе

с водой и ребенка»). В сложных случаях, когда построение

модели вызывает наибольшее сомнение, полезным

оказывается своеобразный «спор моделей», когда одно и то

же явление исследуется на нескольких моделях. Если

научные выводы и рекомендации от модели к модели

меняются мало, это — серьезный аргумент в пользу

объективности исследования. Характерным для сложных

задач исследования операций является также повторное

обращение к модели: после того, как первый цикл

исследований выполнен, возвращаются снова к модели и

вносят в нее необходимые коррективы.

Построение математической модели — наиболее

важная и ответственная часть исследования, требующая

глубоких знаний не только и не столько в математике,

сколько в существе моделируемых явлений. Однако раз

созданная удачная модель может найти применение и далеко

за пределами того круга явлений, для которого она

первоначально создавалась. Так, например, математические

модели массового обслуживания нашли широкое применение в

целом ряде областей, далеких, с первого взгляда, от

массового обслуживания (надежность технических

устройств, организация автоматизированного производства,

задачи ПВО и др.). Математические модели, первоначально

предназначенные для описания динамики развития

биологических популяций, находят широкое применение при

описании боевых действий и наоборот — боевые модели с

успехом применяются в биологии.

Математические модели, применяемые в настоящее

время в задачах исследования операций, можно грубо

подразделить на два класса:

а н а л и т и ч е с к и е и с

т а т и с т и ч е с к и е.

Для первых характерно установление формульных,

аналитических зависимостей между параметрами задачи,

записанных в любом виде: алгебраические уравнения,

обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с

частными производными и т. д. Чтобы такое аналитическое

описание операции было возможно, как правило, нужно

принять те или иные допущения или упрощения. С помощью

аналитических моделей удается с удовлетворительной

точностью описать только сравнительно простые операции,

где число взаимодействующих элементов не слишком велико.

В операциях же большого масштаба, сложных, в которых

переплетается действие огромного количества факторов, в

том числе и случайных, на первый план выходит метод

статистического моделирования. Он состоит в том, что

процесс развития операции как бы «копируется» на

вычислительной машине, со всеми сопровождающими его

случайностями. Всякий раз, когда в ход операции

вмешивается какой-либо случайный фактор, его влияние

учитывается посредством «розыгрыша», напоминающего

бросание жребия. В результате многократного повторения

такой процедуры удается получить интересующие нас

характеристики исхода операции с любой степенью

точности.

Статистические модели имеют перед аналитическими

то преимущество, что они позволяют учесть большее число

факторов и не требуют грубых упрощений и допущений. Зато

результаты статистического моделирования труднее

поддаются анализу и осмыслению. Более грубые

аналитические модели описывают явление лишь приближенно,

зато результаты более наглядны и отчетливее отражают

присущие явлению основные закономерности. Наилучшие

результаты получаются при совместном применении

аналитических и статистических моделей:

простая аналитическая модель позволяет вчерне

разобраться в основных закономерностях явления, наметить

главные его контуры, а любое дальнейшее уточнение может

быть получено статистическим моделированием.

3. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ СЛУЧАЙ

Рассмотрим задачу исследования операций в общей

постановке, безотносительно к виду и цели операции.

Пусть имеется некоторая операция 0, т. е.

управляемое мероприятие, на исход которого мы можем в

какой-то мере влиять, выбирая тем или другим способом

зависящие от нас параметры. Эффективность операции

характеризуется каким-то численным критерием или

показателем W, который требуется обратить в максимум

(случай, когда его требуется обратить в минимум,

сводится к предыдущему и отдельно не рассматривается).

Предположим, что тем или иным способом

математическая модель операции построена; она позволяет

вычислить показатель эффективности W при любом принятом

решении, для любой совокупности условий, в которых

выполняется операция.

Рассмотрим сначала наиболее простой случай: все

факторы, от которых зависит успех операции, делятся на

две группы:

— заданные, заранее известные факторы (условия

проведения операции) а1, а2..., на которые мы влиять не

можем;

— зависящие от нас факторы (элементы решения) х1,

х2, ..., которые мы, в известных пределах, можем

выбирать по своему усмотрению.

Этот случай, в котором факторы, влияющие на исход

операции, либо заранее известны, либо зависят от нас, мы

будем называть детерминированным.

Заметим, что под «заданными условиями» операции

а1,а2 ... могут пониматься не только обычные числа, но и

функции, в частности— ограничения, наложенные на

элементы решения. Равным образом, элементы решения х1,

х2, ... также могут быть не только числами, но и

функциями.

Показатель эффективности W зависит от обеих групп

факторов:

как от заданных условий, так и от элементов решения.

Запишем эту зависимость в виде общей символической

формулы:

W=W(a1, а2,... х1, х2,...). (3.1)

Так как математическая модель построена, будем

считать, что зависимость (3.1) нам известна, и для любых

а1, а2 ...; х1, х2, ... мы можем найти W.

Тогда задачу исследования операций можно

математически сформулировать так:

При заданных условиях а1, а2, ... найти такие

элементы решения х1, х2, ..., которые обращают

показатель W в максимум.

Перед нами — типично математическая задача,

относящаяся к классу так называемых вариационных задач.

Методы решения таких задач подробно разработаны в

математике. Простейшие из этих методов («задачи на

максимум и минимум») хорошо известны каждому инженеру.

Для нахождения максимума или минимума (короче,

экстремума) функции нужно продифференцировать ее по

аргументу (или аргументам, если их несколько),

приравнять производные нулю и решить полученную систему

уравнений.

Однако, этот простой метод в задачах исследования

операций имеет ограниченное применение. Причин этому

несколько.

1. Когда аргументов х1, х2, ... много (а это

типично для задач исследования операций), совместное

решение системы уравнений, полученных дифференцированием

основной зависимости, зачастую оказывается не проще, а

сложнее, чем непосредственный поиск экстремума.

2. В случае, когда на элементы решения х1, х2,

... наложены ограничения (т. е., область их изменения

ограничена), часто экстремум наблюдается не в точке, где

производные обращаются в нуль, а на границе области

возможных решений. Возникает специфическая для

исследования операций математическая задача «поиска

экстремума при наличии ограничений», не укладывающаяся в

схему классических вариационных методов.

3. Наконец, производных, о которых идет речь,

может вовсе не существовать, например, если аргументы

х1, х2, ... изменяются не непрерывно, а дискретно, или

же сама функция W имеет особенности.

Общих математических методов нахождения

экстремумов функций любого вида при наличии произвольных

ограничений не существует. Однако для случаев, когда

функция и ограничения обладают определенными свойствами,

современная математика предлагает ряд Специальных

методов. Например, если показатель эффективности W

зависит от элементов решения х1, х2, ... линейной

ограничения, наложенные на х1, х2, ..., также имеют вид

линейных равенств (или неравенств), максимум функции W

находится с помощью специального аппарата, так

называемого линейного программирования. Если эти функции

обладают другими свойствами (например, выпуклы или

квадратичны), применяется аппарат «выпуклого» или

«квадратичного» программирования, более сложный по

сравнению с линейным программированием, но все же

позволяющий в приемлемые сроки найти решение. Если

операция естественным образом расчленяется на ряд

«шагов» или «этапов» (например, хозяйственных лет), а

показатель эффективности W выражается в виде суммы

показателей Wi, достигнутых за отдельные этапы, для

нахождения решения, обеспечивающего максимальную

эффективность, может быть применен метод динамического

программирования.

Если операция описывается обыкновенными

дифференциальными уравнениями, а управление, меняющееся

со временем, представляет собой некоторую функцию x(f),

то для нахождения оптимального управления может

оказаться полезным специально разработанный метод Л. С.

Понтрягина.

Таким образом, в рассматриваемом

детерминированном случае задача отыскания оптимального

решения сводится к математической задаче отыскания

экстремума функции W; эта задача может быть весьма

сложной (особенно при многих аргументах), но, в конце

концов, является вычислительной задачей, которую,

особенно при наличии быстродействующих ЭЦВМ, удается,

так или иначе, решить до конца. Трудности, возникающие

при этом, являются расчетными, а не принципиальными.

4. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ.

ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В предыдущем параграфе мы рассмотрели самый

простой, полностью детерминированный случай, когда все

условия операции а1, а2, ... известны, и любой выбор

решения х1, х2,... приводит к вполне определенному

значению показателя эффективности W.

К сожалению, этот простейший случай не так уж

часто встречается на практике. Гораздо более типичен

случай, когда не все условия, в которых будет

проводиться операция, известны заранее, а некоторые из

них содержат элемент неопределенности. Например, успех

операции может зависеть от метеорологических условий,

которые заранее неизвестны, или от колебаний спроса и

предложения, заранее трудно предвидимых, связанных с

капризами моды, или же от поведения разумного

противника, действия которого заранее неизвестны.

В подобных случаях эффективность операции зависит

уже не от двух, а от трех категорий факторов:

— условия выполнения операции а1, а2, ...,

которые известны заранее и изменены быть не могут;

— неизвестные условия или факторы Y1, Y2, ... ;

— элементы решения х1, х2, ..., которые нам

предстоит выбрать. Пусть эффективность операции

характеризуется некоторым показателем W, зависящим от

всех трех групп факторов. Это мы запишем в виде общей

формулы:

W=W(a1, а2,...; Y1, Y2,...; х1, х2,...).

Если бы условия Y1, У2, ... были известны, мы

могли бы заранее подсчитать показатель W и выбрать такое

решение х1, х2, ..., при котором он максимизируется.

Беда в том, что параметры Y1,Y2, ... нам неизвестны, а

значит, неизвестен и зависящий от них показатель

эффективности W при любом решении. Тем не менее задача

выбора решения по-прежнему стоит перед нами. Ее можно

сформулировать так:

При заданных условиях а1, а2,…, с учетом

неизвестных факторов Y1, y2, ... найти такие элементы

решения х1, х2, ..., которые по возможности обращали бы

в максимум показатель эффективности W.

Это — уже другая, не чисто математическая задача

(недаром в ее формулировке сделана оговорка «по

возможности»). Наличие неизвестных факторов Y1, Y2, ...

переводит нашу задачу в другую категорию' она

превращается в задачу о выборе решения в условиях

неопределенности.

Давайте будем честны: неопределенность есть

неопределенность. Если условия выполнения операции

неизвестны, мы не имеем возможности, так же успешно

организовать ее, как мы это сделали бы, если бы

располагали большей информацией. Поэтому любое решение,

принятое в условиях неопределенности, хуже решения,

принятого во вполне определенной ситуации. Наше дело —

сообщить своему решению в наибольшей возможной мере

черты разумности. Решение, принятое в условиях

неопределенности, но на основе математических расчетов,

будет все же лучше решения, выбранного наобум. Недаром

один из видных зарубежных специалистов — Т. Л. Саати в

книге «Математические методы исследования операций» дает

своему предмету следующее ироническое определение:

«Исследование операций представляет собой

искусство давать плохие ответы на те практические

вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими

методами».

Задачи о выборе решения в условиях

неопределенности встречаются нам в жизни на каждом шагу.

Пусть, например, мы собрались ехать в отпуск, взяв с

собой чемодан ограниченного объема, причем вес чемодана

не должен превышать того, при котором мы можем носить

его без посторонней помощи (условия а1, а2, ...). Погода

в районах путешествия заранее неизвестна (условия Y1,

Y2, ...). Спрашивается, какие предметы одежды (х1, х2,

...) следует взять с собой?

Эту задачу мы, разумеется, решаем без всякого

математического аппарата, хотя, по-видимому, не без

опоры на какие-то численные данные (хотя бы на

вероятности морозной или дождливой погоды в районах

путешествия в данное время года). Однако, если нужно

принять более серьезное и ответственное решение

(например, о характеристиках проектируемой плотины в

районе возможных паводков, или о выборе типа посадочного

устройства для посадки на планету с неизвестными

свойствами поверхности, или о выборе образца вооружения

для борьбы с противником, характеристики которого

заранее неизвестны), то выбору решения в обязательном

порядке должны быть предпосланы математические расчеты,

облегчающие этот выбор и сообщающие ему, в доступной

мере, черты разумности.

Применяемые при этом методы существенно зависят

от того, какова природа неизвестных факторов Y1, Y2,…и

какими ориентировочными сведениями о них мы располагаем.

Наиболее простым и благоприятным для расчетов

является случай, когда неизвестные факторы Y1,

Y2,…представляют собой случайные величины (или же

случайные функции), о которых имеются статистические

данные, характеризующие их распределение.

Пусть, например, мы рассматриваем работу

железнодорожной сортировочной станции, стремясь

оптимизировать процесс обслуживания прибывающих на эту

станцию грузовых поездов. Заранее неизвестны ни точные

моменты прибытия поездов, ни количество вагонов в каждом

поезде, ни адреса, по которым направляются вагоны. Все

эти характеристики представляют собой случайные

величины, закон распределения каждой из которых (и их

совокупности) может быть определен по имеющимся данным

обычными методами математической статистики.

Аналогично, в каждой военной операции

присутствуют случайные факторы, связанные с рассеиванием

снарядов, со случайностью моментов обнаружения целей и

т. п. В принципе все эти факторы могут быть изучены

методами теории вероятностей, и для них могут быть

получены законы распределения (или, по крайней мере,

числовые характеристики).

В случае, когда неизвестные факторы, фигурирующие

в операции — Y1, Y2,…. — являются обычными случайными

величинами (или случайными функциями), распределение

которых, хотя бы ориентировочно, известно, для

оптимизации решения может быть применен один из двух

приемов:

— искусственное сведение к детерминированной

схеме;

— «оптимизация в среднем».

Остановимся более подробно на каждом из этих

приемов. Первый прием сводится к тому, что

неопределенная, вероятностная картина явления

приближенно заменяется детерминированной. Для этого все

участвующие в задаче случайные факторы Y1, Y2,….

приближенно заменяются не случайными (как правило, их

математическими ожиданиями).

Этот прием применяется по преимуществу в грубых,

ориентировочных расчетах, когда диапазон случайных

изменений величин Y1, Y2,…. сравнительно мал, т. е. они

без большой натяжки могут рассматриваться как не

случайные. Заметим, что тот же прием замены случайных

величин их математическими ожиданиями может успешно

применяться и в случаях, когда величины Y1, Y2,….

обладают большим разбросом, но показатель эффективности

W зависит от них линейно (или почти линейно).

Второй прием («оптимизация в среднем»), более

сложный, применяется, когда случайность величин Y1,

Y2,…. весьма существенна и замена каждой из них ее

математическим ожиданием может привести к большим

ошибкам.

Рассмотрим этот случай более подробно. Пусть

показатель эффективности W существенно зависит от

случайных факторов (будем для простоты считать их

случайными величинами) Y1, Y2,….; допустим, что нам

известно распределение этих факторов, скажем, плотность

распределения f (Y1, Y2,…). Предположим, что операция

выполняется много раз, причем условия Y1, Y2,… меняются

от раза к разу случайным образом. Какое решение х1,

х2,... следует выбрать? Очевидно, то, при котором

операция в среднем будет наиболее эффективна, т. е.

математическое ожидание показателя эффективности W будет

максимально. Таким образом, нужно выбирать такое решение

X1, Х2, ... , при котором обращается в максимум

математическое ожидание показателя эффективности:

W=M[W}==

== …. W(a1, a2,…; y1,y2,…; x1,x2…)

(y1,y2,...) dy1dy2….

Такую оптимизацию мы будем называть «оптимизацией

в среднем».

А как же с элементом неопределенности? Конечно, в

какой-то мере он сохраняется. Успешность каждой

отдельной операции, осуществляемой при случайных,

заранее неизвестных значениях Y1, Y2,… может сильно

отличаться от ожидаемой средней, как в большую, так, к

сожалению, и в меньшую сторону. При многократном

осуществлении операции эти различия, в среднем,

сглаживаются; однако, нередко данный способ оптимизации

решения, за неимением лучшего, применяется и тогда,

когда операция осуществляется всего несколько раз или

даже один раз. Тогда надо считаться с возможностью

неприятных неожиданностей в каждом отдельном случае.

Утешением нам может служить мысль о том, что

«оптимизация в среднем» все же лучше, чем выбор решения

без всяких обоснований. Применяя этот прием к

многочисленным (хотя бы и различным) операциям, все же

мы в среднем выигрываем больше, чем если бы совсем не

пользовались расчетом.

Для того, чтобы составить себе представление о

том, чем мы рискуем в каждом отдельном случае,

желательно, кроме математического ожидания показателя

эффективности, оценивать также и его дисперсию (или

среднее квадратическое отклонение).

Наиболее трудным для исследования является тот

случай неопределенности, когда неизвестные факторы Y1,

Y2,… не могут быть изучены и описаны с помощью

статистических методов: их законы распределения или не

могут быть получены (соответствующие статистические

данные отсутствуют), или, что еще хуже, таких законов

распределения вовсе не существует. Это бывает, когда

явление, о котором идет речь, не обладает свойством

статистической устойчивости. Например, мы знаем, что на

Марсе возможно наличие органической жизни, и некоторые

ученые даже считают его весьма вероятным, но совершенно

невозможно подсчитать эту вероятность на основе каких-

либо статистических данных. Другой пример: предположим,

что эффективность проектируемого вооружения сильно

зависит от того, будет ли предполагаемый противник к

моменту начала боевых действий располагать средствами

защиты, и если да, то какими именно? Очевидно, нет

никакой возможности подсчитать вероятности этих гипотез

— самое большее, их можно назначить произвольно, что

сильно повредит объективности исследования.

В подобных случаях, вместо произвольного и

субъективного назначения вероятностей с дальнейшей

«оптимизацией в среднем», рекомендуется рассмотреть весь

диапазон возможных условий Y1, Y2,… и составить

представление о том, какова эффективность операции в

этом диапазоне и как на нее влияют неизвестные условия.

При этом задача исследования операций приобретает новые

методологические особенности.

Действительно, рассмотрим случай, когда

эффективность операции W зависит, помимо заданных

условий а1,a2, ... и элементов решения х1, х2,…, еще и

от ряда неизвестных факторов Y1, Y2,… нестатистической

природы, о которых никаких определенных сведений нет, а

можно делать только предположения. Попробуем все же

решить задачу. Зафиксируем мысленно параметры Y1, Y2,…,

придадим им вполне определенные значения Y1=у1,

Y2=у2,..., и переведем тем самым в категорию заданных

условий а1, а2, .... Для этих условий мы в принципе

можем решить задачу исследования операций и найти

соответствующее оптимальное решение х1, х2, ... Его

элементы, кроме заданных условий а1, а2, ..., очевидно,

будут зависеть еще и от того, какие частные значения мы

придали условиям Y1, Y2,…:

х1=х1(а1, а2,…; у1, у2,…);

х2=х2(а1, а2,…; у1, у2,…).

Такое решение, оптимальное для данной

совокупности условий у1, у2,… (и только для нее),

называется локально-оптимальным. Это решение, как

правило, уже не оптимально для других значений Y1,

Y2,….Совокупность локально-оптимальных решений для всего

диапазона условий Y1, Y2,… дает нам представление о

том, как мы должны были бы поступать, если бы

неизвестные условия Y1, Y2,…были нам в точности

известны. Поэтому локально-оптимальное решение, на

получение которого зачастую тратится много усилий, имеет

в случае неопределенности сугубо ограниченную ценность.

Совершенно очевидно, что в данном случае следует

предпочесть не решение, строго оптимальное для каких-то

определенных условий, а компромиссное решение, которое,

не будучи, может быть, строго оптимальным ни для каких

условий, оказывается приемлемым в целом диапазоне

условий.

В настоящее время полноценной математической

«теории компромисса» еще не существует, хотя в теории

решений и имеются некоторые попытки в этом направлении.

Обычно окончательный выбор компромиссного решения

осуществляется человеком, который, опираясь на расчеты,

может оценить и сопоставить сильные и слабые стороны

каждого варианта решения в разных условиях и на основе

этого сделать окончательный выбор. При этом

необязательно (хотя иногда и любопытно) знать точный

локальный оптимум для каждой совокупности условий у1,

у2, …. Таким образом, классические вариационные и

новейшие оптимизационные методы математики отступают в

данном случае на задний план.

В последнюю очередь рассмотрим своеобразный

случай, возникающий в так называемых конфликтных

ситуациях, когда неизвестные параметры Y1, Y2,… зависят

не от объективных обстоятельств, а от активно

противодействующего нам противника. Такие ситуации

характерны для боевых действий, отчасти для спортивных

соревнований, в капиталистическом обществе — для

конкурентной борьбы и т. д.

При выборе решений в подобных случаях может

оказаться полезным математический аппарат так называемой

теории игр — математической теории конфликтных ситуаций.

Модели конфликтных ситуаций, изучаемые в теории игр,

основаны на предположении, что мы имеем дело с разумным

и дальновидным противником, всегда выбирающим свое

поведение наихудшим для нас (и наилучшим для себя)

способом. Такая идеализация конфликтной ситуации в

некоторых случаях может подсказать нам наименее

рискованное, «перестраховочное» решение, которое

необязательно принимать, но, во всяком случае, полезно

иметь в виду.

Наконец, сделаем одно общее замечание. При

обосновании решения в условиях неопределенности, что бы

мы ни делали, элемент неопределенности остается. Поэтому

неразумно предъявлять к точности таких решений слишком

высокие требования. Вместо того, чтобы после

скрупулезных расчетов однозначно указать одно-

единственное, в точности оптимальное (в каком-то смысле)

решение, всегда лучше выделить область приемлемых

решений, которые оказываются несущественно хуже других,

какой бы точкой зрения мы ни пользовались. В пределах

этой области могут произвести свой окончательный выбор

ответственные за него лица.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Основы информатики и математики для юристов Д.Ф

Богатов, Ф.Г. Богатов Москва 2000г.

2. Исследование операций Е. С. Веннтцель Москва

1972г.

3. Лекции МА МВД России 2000г.

Страницы: 1, 2